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国际象棋的传说和无穷大数

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  让我们先从一个流传得很广的故事说起吧:

  相传,古印度的舍罕王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西萨·班·达依尔。于是,这位宰相跪在国王面前说:“陛下,请您在这张棋盘的第一个小格内,赏给我一粒麦子;在第二个小格内给两粒,第三格内给四粒,照这样下去,每一小格都比前一小格加一倍。陛下啊,把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒,都赏给您的仆人罢!”国王慷慨地答应了宰相的要求,他下令将一袋麦子拿到宝座前。

  计数麦粒的工作开始了。第一格内放一粒,第二格两粒,第三格四粒……还没到第二十格,袋子已经空了。一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来,但是,麦粒数一格接一格地增长得那么迅速,很快就可以看出,即使拿来全印度的小麦,国王也无法兑现他对宰相许下的诺言!

  这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢?稍微算一下就可以得出:

  1+2+2^2+2^3+2^4+……+2^63=2^64-1直接写出数字来就是18,446,744,073,709,551,615粒。

  这位宰相所要求的,竟是全世界在两千年内所产的小麦的总和!

  如果造一个宽四米,高四米的粮仓来储存这些粮食,那么这个粮仓就要长三亿千米,可以绕地球赤道7500圈,或在日地之间打个来回。

  国王哪有这么多的麦子呢?他的一句慷慨之言,成了他欠宰相西萨·班·达依尔的一笔永远也无法还清的债。

  这个故事是我们大家都相当熟悉的。至于国王是如何解决这个难题的,知道的人可能不会多吧?等会儿在下会在本文的末尾予以详细说明,在这里……就先卖个关子好了!

  这位宰相所要求的麦粒数已经是很大的了,但我们还能把它写下来,然而,我们平时也会遇到一些无穷大的数,那可就不是我们能写下来的了。比如,“所有整数的个数”与“一条直线上所有几何点的个数”显然都是无穷大的。

  现在有一个近乎可笑的问题:在下刚才所提到的两个无穷大数,哪一个更大些?

  也许您会笑:这还能比吗?数都数不清,如何比较?

  或者说:既然都是无穷大数,那就应该是一样大吧。

  但是,且慢下这样的结论啊,还是让我们来比较一番好了。至于比较的方法……请跟随在下走进非洲的原始部落,那里的土著居民会告诉我们答案的(请不要觉得不可思议,这可是真的!)。

  不少探险家证实,在某些原始部落里,并不存在比三大的数词。如果问他们当中的一个人有几个儿子,或杀死过多少敌人,要是这个数字大于三,他就会回答:“许多个。”如果一个原始部落人想弄清自己的财物中,到底是铜币多,还是玻璃珠子多,他该怎么办?对于他来说,这两个数目可都是“许多个”啊!难道他会因为数不清数目而放弃比较?根本不会。如果他足够聪明,他就会将铜币和珠子一一配对,若是最后铜币用完了,珠子还有剩余,那珠子的数目就比铜币多;反之,若是珠子用完了,铜币还有剩余,他就会知道铜币比较多。当然,如果同时用完,那铜币和珠子的数目就相等。

  我们也可以采取同样的方法来比较无穷大数的大小(因为对于我们来说,这些无穷大数就和原始部落人的铜币或珠子一样,都是数不清的啊!^O^),由于这种比较的方法是数学家康托尔最早采用的,因此它又被称为康托尔法则。我们先从简单的开始好了:所有的奇数和所有的偶数,哪个多呢?当然从直觉上,您会认为它们是相等的,事实也是如此。下面就是奇数与偶数的比较:

  1-->23-->45-->67-->89-->10…………

  …………

  但是,且慢,所有的自然数(包括奇数和偶数)和单单偶数的个数相比,哪个多呢?您可能会说,当然是自然数多,因为自然数还包括奇数啊!那么,我们就来比较一下吧。事实上,自然数与偶数之间是可以建立一一对应的关系的:

  1-->22-->43-->64-->85-->10…………

  …………

  我们不得不承认,自然数和偶数的数目是相等的,尽管这个结论看上去十分荒谬。但在无穷大的世界里,部分却可能等于全部!这是一个事实。

  那所有的分数(即有理数)与整数的关系又如何呢?您可以照这样的法则写下所有的分数:先写下分子分母之和为2的分数:1/1;接着是分子分母之和为3的:1/2,2/1;然后是分子分母之和为4的:1/3,2/2,3/1;……这样一直写下去,最后把整数数列写在旁边就可以了。如此一来,我们就很容易地建立了分数与整数的一一对应关系,当然它们的个数也是相等的。

  您也许会说,是啊,它们都相等,那是不是所有的无穷大数的数目都相等呢?如果是这样,那这种比较还有什么意义呢?

  让我们回到在下一开始提出的那个问题吧:“所有整数的个数”与“一条直线上所有几何点的个数”相比,哪个更多些?

  我们知道,一条线上所有的点是由实数构成的,包括有理数和无理数。但是,我们不可能像刚才写下所有的有理数那样,写下所有的无理数,因此,实数与整数间的一一对应关系就建立不起来了。我们只能将有理数和整数一一配对,剩下的是无理数,所以,“一条线上所有几何点的个数”比“所有整数的个数”要多。

  本文到此为止……什么?您说还没完?对了……国际象棋的问题还没有解决。哎呀,国王的处理方法很简单,他忍受不了宰相成天没完没了的讨债,就干脆下令砍掉宰相的头……抱歉,在下又在胡说八道了。那个故事的后半段如下:

  正当国王一筹莫展之际,王太子的数学教师知道了这件事,他笑着对国王说:“陛下,这个问题很简单啊,就像1+1=2一样容易,您怎么会被它难倒?”国王大怒:“难道你要我把全世界两千年产的小麦都给他?”年轻的教师说:“没有必要啊,陛下。其实,您只要让宰相大人到粮仓去,自己数出那些麦子就可以了。假如宰相大人一秒钟数一粒,数完18,446,744,073,709,551,615粒麦子所需要的时间,大约是5800亿年(大家可以自己用计算器算一下!)。就算宰相大人日夜不停地数,数到他自己魂归极乐,也只是数出了那些麦粒中极小的一部分。这样的话,就不是陛下无法支付赏赐,而是宰相大人自己没有能力取走赏赐。”国王恍然大悟,当下就召来宰相,将教师的方法告诉了他。

  西萨·班·达依尔沉思片刻后笑道:“陛下啊,您的智慧超过了我,那些赏赐……我也只好不要了!”当然,最后宰相还是获得了很多赏赐(没有麦子^O^)。

  这个问题……就这么简单!